중등 수학공식
'피타고라스의 정리'

직각삼각형에서 직각을 낀 두 변의 길이를 각각 a,b라 하고, 빗변의 길이를 c라 합니다.
이럴 경우 a2+b2=c2 의 공식이 성립됩니다.

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피타고라스 정리의 발견
고대 그리스의 철학자이자 수학자였던 피타고라스가 발견했다고 일반적으로 알려져 있기 때문에 피타고라스의 정리(Pythagorean theorem)라 불린다. 피타고라스는 철학, 수학, 음악, 천문학, 종교, 의술 등 다방면에 관심을 가지고 독특한 사상을 발전시켰는데 특히 도형을 숫자로 표시하는 기하학의 수론적인 정의를 연구하는데 많은 힘을 쏟았다. 3세기 전반에 활약한 그리스 사상가 디오게네스 라에르티오스(Diogenes Laërtius)는 저서 《고대 철학자들의 생애와 사상》에서 피타고라스가 이 정리를 발견한 것을 기념하여 황소 백 마리를 신에게 바쳤다고 적고 있다. 이에 대해서는 다음과 같은 짧은 고대 시구도 전해 내려온다. “사모스의 위대한 현인(피타고라스)은 이 고귀한 도형을 발견하고서, 그 일을 기념하기 위해 황소의 희생을 바쳤도다.” 피타고라스가 전생과 윤회를 믿고 피를 보는 동물의 희생제의를 반대했기 때문에 신념에 따라 살아있는 황소 대신 밀가루 반죽으로 만든 황소를 바쳤다는 주장도 있다.

그러나 피타고라스의 정리는 피타고라스가 이전까지 세웠던 철학적 수 이론과 상충되는 면이 있었다. 피타고라스 사상에 있어 수학은 중요한 의미를 갖는다. 피타고라스는 만물의 근원을 수(數)로 보았으며 이 수들의 조화가 세상 만물을 만들어내고 우주의 질서를 유지시키는 법칙이라고 생각했다. 따라서 1~10까지의 각각의 자연수들은 독특한 힘을 가지고 있다고 여겼으며, 이 자연수들로 이루어진 분수의 개념을 통해 음의 높낮이와 조화의 미를 이해하려 했다. 하지만 ‘직각삼각형의 빗변의 제곱이 다른 두 변의 제곱의 합과 같다.’는 피타고라스의 정리는 자연수나 자연수의 비(比)로는 완전히 해결되지 않는다. 제곱해서 자연수가 나올 수 있는 ‘무리수(Irrational number)’ 개념이 필요해진 것이다. 예를 들어 직각을 사이에 둔 두 변의 길이가 모두 1이고 빗변의 길이가 c인 직각삼각형이 있다고 가정했을 때 피타고라스 정리에 따르면 1²+1²=c²이다. 곧 2=c², √2=c로 c가 무리수가 되는 것이다. 일설에 따르면 자연수만으로 풀 수 없는 피타고라스의 정리는 피타고라스학파의 주도 하에 한동안 은폐되었다고 한다. 또한 이를 대중에게 누설한 피타고라스의 제자 히파수스(Hippasus)를 피타고라스 추종자들이 바다에 빠뜨려 죽였다는 이야기가 전해지나 출처나 역사적 근거가 분명하지 않다.

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피타고라스 정리의 역사와 수학적 증명
피타고라스의 정리를 피타고라스가 발견했는지 여부는 여전히 논쟁거리이다. 일부 학자들은 피타고라스의 정리가 실제로는 피타고라스 이전이나 이후, 혹은 그의 사상을 따르고 발전시킨 피타고라스학파로부터 나왔을 것이라고 추정한다. 이집트, 인도, 중국의 고대 문서에서는 정교하지는 않지만 피타고라스의 정리와 밀접한 관련을 갖는 것으로 보이는 수 이론들이 다양한 형태로 남아있다. 고대 이집트인들은 삼각형의 세변이 3,4,5로 이루어졌을 때 직각삼각형이 된다는 것을 알고 있었다. 예를 들어, 기원전 2000년경 작성된 이집트 문서 <베를린 파피루스 6619(Berlin Papyrus 6619)>에는 다음과 같은 단순한 정리가 등장한다. ‘넓이 100의 정사각형은 이보다 작은 두 개의 정사각형 넓이의 합과 같다. 작은 정사각형 한쪽은 다른 것의 1/2+1/4이다.(a²+b²=100, a=(3/4)b → b²+(3/4)²b²=100, (25/16)b²=100, ∴a=6, b=8, c(가장 큰 변)=10)’

함무라비 왕(Hammurabi) 통치시기에 메소포타미아 지방에서 바빌로니아 인들이 작성한 것으로 보이는 <점토판 플림톤 322(Plimpton 322)>에는 4열 15행의 배열로 쐐기 문자 숫자들이 적혀 있다. 다른 방식으로 해석하기도 하지만 그 숫자들 가운데 상당수가 직각 삼각형의 세변의 제곱과 일치한다. 기원전 5세기를 편찬시기로 보나 기원전 1000년경을 그 시작으로 잡는 중국의 천문 수학서 《주비산경(周髀算经)》에서도 피타고라스의 정리와 유사한 구고현의 정리(勾股定理)가 그림으로 증명되어 있다. 그 내용은 구(句)가 3, 고(股)가 4이면, 현(弦)은 5가 된다는 것이다.

‘직각삼각형 3개의 변을 a, b, c라 하고 c에 대한 각이 직각일 때 a²+b²=c²’라는 피타고라스의 정리를 증명하는 방법은 오늘날 400여개 가까이 존재하며 계속해서 새로운 증명법이 개발되고 있다. 전해져 오는 증명법 가운데 가장 널리 알려진 것은 그리스 수학자 유클리드(Euclid, BC 330?~BC 275?)의 저서 《기하학 원론》에서 나온 증명이다. 그 내용은 다음과 같이 요약할 수 있다.

C에서 AB에 수직인 직선을 긋고 AB,DE의 교점을 각각 L,M이라 한다. C와 D, B와 K를 이으면 △KAB와 △CAD에서 AK=AC, AB=AD이고, ∠KAB=∠CAD(90°＋∠CAB)에서 두 변과 끼인각이 같고 △KAB≡△CAD가 된다. 다음에 △KAB와 □KACH에서는 KA를 공통 밑변으로 하면 그 높이가 같으므로 □KACH=2△KAB가 되고, 또 △CAD와 □LADM도 AD를 공통 밑변으로 하면 그 높이가 같으므로, □LADM=2△CAD가 된다. 따라서, □KACH=□LADM이 된다. 마찬가지로 □CBFG=□LMEB가 얻어진다. □KACH＋□CBFG =□LADM＋□LMEB =□ADEB 가 되며, 따라서 a²＋b²=c²이 된다.

출처 : [네이버 지식백과] 피타고라스의 정리 [Pythagorean theorem] (두산백과)